자연상수 e

1\. 자연상수 e의 정의

세상에서 가장 경이로운 수 두 가지를 꼽자면 원주율 와 자연상수 이다. 자연상수 는 원주율과 함께 자연현상, 경제현상을 해석하는 데 자주 사용된다. 세상에서 가장 아름다운 식이라 불리는 오일러의 공식에는, 전혀 관련 없을 것 같은 두 상수가 간단한 식으로 연결되어 있다.

만약 원주율과 자연상수를 몰랐다면 인류는 지금과 같은 문명을 이루지 못했을 것이다. 현재 이 두 초월수는 약, 화장품, 전자기기, 인터넷, 자동차, 비행기, 도로, 교량, 보험, 파생상품, 알트코인, 진화, 자율주행, 고층빌딩 등 수없이 많은 분야에서 중요하게 사용되고 있다.

자연상수 는 자연의 연속한 성장을 다루는 분야에서도 매우 중요한 수이다. 투자도 자산의 연속 성장을 목표로 하기 때문에 투자의 세계에는 자연상수가 담겨 있다. 자연상수 는 다음과 같이 정의한다.

끝이 없는 무한소수이며 초월수이다. 어렵다. 복리 예금상품을 이용해 자연상수에 더 친근하게 접근해 보자.

1억을 넣으면 1년 후에 2억을 주는 혜자은행이 있다. 이 예금의 이자율은 100%이다. 이것을 식으로 표현하면 다음과 같다.

나는 이 은행이 불안해서 1년은 너무 기니 6개월 단위로 투자해도 되냐고 물어봤다. 된다고 한다. 연 이자율 100%의 반인 50%를 적용해 6개월 후에 원리금을 받고, 믿음이 생기면 다시 6개월 동안 넣어 50%를 받을 수 있다. 그렇다면 1년 후 통장에 남는 돈은

앗, 단순히 두 번 나눠 투자했는데 2,500만원이 더 생겼다. 그럼 1년에 세 번도 되냐고 물었더니 역시 된단다. 즉, 연 이율의 33.33%를 4개월 후에 받고 다시 재투자해서 33.33%를 4개월 단위로 두 번 더 투자한다.

우와, 3,700만원이 더 생겼다. 욕심이 생긴 나는 하루에 한 번씩 투자하면 어떨까 물어본다. 역시 혜자은행이다. 1년에 365번 투자도 가능하고 쉬는 날도 없다고 한다. 세 번 나눠 투자해서 3,700만원이면, 365번 나눠 투자하면 못해도 30억은 더 챙길 것 같다.

어라, 이상하다. 몇십억은 더 벌 줄 알았는데 7,157만원 증가에 그쳤다. 그럼 1시간에 한 번씩 투자하면 어떨까?

1,000,000번은 어떨까?

더 이상 늘지 않는다. 투자 횟수를 아무리 늘려도 몇십억은 못 번다. 투자 횟수를 무한대로 했을 때는,

이 값에 수렴하게 된다. 이것을 우리는 자연상수 라 부른다. 실제로 사채업자들, 특히 일수를 받는 사채업자는 이 수에 대해 직감적으로 알고 있다. (위 복리 예금과 같은 원리)

투자에서 자연상수 가 왜 중요할까? 머리 좀 식히고 다음 이야기에서 다뤄보기로 하자.

2\. 자연상수와 투자의 원리 — 자산의 연속성장

자연의 연속한 성장을 다루는 분야에서 주로 사용되는 자연상수 는 투자에서도 유용하게 사용된다. 투자도 '자산의 연속한 성장'을 다루기 때문이다.

예를 들어 설명해 보자. 어떤 사람이 현재 1,000만원의 자산을 가지고 있는데 10년 후에 10억으로 늘리고 싶어한다고 가정하자. 10년 동안 자산을 100배 증가시켜야 한다. 이 사람의 자산은 시간에 따라 어떻게 증가할까?

대부분의 사람은 1년 후에는 10배, 5년 후에는 50배, 10년 후에 100배 증가해서 10억이 된다고 생각한다. 과연 이렇게 증가할까?

🖼 \[그림\] 사람들이 기대하는 직선형 자산 증가

우선 '연속성장'의 개념을 이해해 보자. 자연에서 성장은 한 번에 이뤄지지 않는다. 길에 눈이 쌓이는 것처럼 수없이 많은 축적이 모여야 성장이 이뤄진다. 심지어 전 세계적 재앙인 COVID-19 확진자 수의 증가도 이 자연의 성장 법칙을 따른다. 사람도 세포 한 개에서 출발해 무수히 많은 분화를 거쳐 30~40조 개의 세포를 가진 개체로 성장한다. 연속적인 분화와 증가를 통해 성장하는 것, 이를 우리는 연속성장이라 부른다. 자산의 증가도 이 연속성장을 통해 증가한다.

다시 돌아와서, 위 10년 10억을 달성하려는 사람의 자산 증가는 시간에 따라 어떻게 그려질까? 가장 단순화시킨 결과는 다음과 같다.

🖼 \[그림\] 연속성장을 따르는 실제 자산 증가 곡선

1,000만원을 가지고 야심차게 투자를 시작한 이 사람은 1년 후 1,580만원밖에 되지 않는 자산을 보며 실망한다. 그래도 억지로 투자를 이어가 5년을 끌었는데, 5억은 돼 있을 줄 알았던 자산은 1억원밖에 되지 않는다. 앞으로 남은 시간이 5년밖에 없는데 9억이나 더 벌어야 한다. 힘이 빠진다.

'10억은 무슨! 그냥 포기하고 차나 사자!'

이것이 많은 사람들이 투자를 시작하고 몇 년 지나지 않아 포기하는 가장 큰 이유이다.

하지만 그 이후의 변화를 보자. 6년째 되는 해 1.5억, 7년째 되는 해 2.5억으로, 앞으로 시간이 얼마 안 남았는데 언제 10억 모으나 했던 자산은 8년에 4억, 8년 6개월째 5억을 돌파하고 그 후 1년 반 만에 10억으로 뛰어버린다. 처음 5년간은 1억 증가에 그쳤던 자산이 남은 5년간 9억이 증가했다.

자산의 증가는 이렇게 이뤄진다. 워런 버핏의 자산 증가도 후반에 급성장하는 것을 볼 수 있다.

나중에 다시 설명하겠지만, 위 가정에서 사용한 자산의 증가식은 다음과 같다.

자산의 증가는 자연의 연속성장을 따른다. 시작은 매우 더디게 진행되며 지루하고 힘이 든다. 하지만 꾸준히 견디고 반복한다면 그 열매는 급속도로 어마어마하게 커진다. 포기하지 말자. 자연의 원리가 그렇다.

네 시작은 미약하였으나 네 나중은 심히 창대하리라. — 욥기 8장 7절

3\. 자연상수의 실질적 의미 — 최대 성장량, cycle, 목표

이전 이야기에서 100배 성장을 가정한 자산의 시간에 따른 함수식은 로 구했다. 자연상수 는 다음과 같이 정의하기도 한다.

자연에서 100%(2배) 성장을 목표로 1 cycle 연속성장 했을 때 가질 수 있는 최대 성장량

여기서 중요한 개념은 세 가지이다. ① 최대 성장량, ② cycle, ③ 목표(100%).

① 최대 성장량. 앞에서 말한 바와 같이, 1년 후에 원금의 두 배로 돌려주는 은행(100% 이자율)에 예금을 하는 경우 무한대로 쪼개어 투자하면 2.718…배가 된다. 1번 투자할 때 2배, 2번 나누어 투자할 때 2.25배, 3번 나누어 투자할 때 2.37배…, 300번 나누어 투자하면 30배 정도 될 것 같지만 실제로는 2.71배, 무한히 나누어 투자해도(연속성장) 최대치는 2.718…배이다.

이 숫자를 기억하기 바란다. 0.718…배는 꾸준한 사람에게 주는 자연의 선물이다. 다만 더 큰 욕심을 부려서는 안 된다.

② cycle. 만약 위 ①의 경우 무한히 나누어(연속성장) 2년 투자(2 cycle)하면 어떻게 될까? 최대 성장량은 2.718… × 2.718…배가 될 것이다.

3년 투자(3 cycle) 연속성장한다면 , n cycle 연속성장하면 이다. 여러 번 성장하면 자연상수 의 지수 형태로 표현된다.

③ 목표(100%). 만약 1년에 1억을 20%를 목표로 1번 투자한다면 어떻게 될까?

2번 나누어 투자하면?

3번 나누면?

4번 나누면 , n번 나누면 , 무수히 나누면(연속성장)

어디서 많이 본 식이다. 자연상수의 정의 에서 1이 20%로 바뀐 것뿐이다. 즉, 1이 의미하는 것은 목표 100%였다. 우리는 위 식을 다음처럼 바꿀 수 있고,

위 식에서 이므로,

가 된다. 어려우니 다 필요 없고, 만약 목표를 10%로 할 때 1 cycle 연속성장하면 성장량의 최대치는 , 5% 목표라면 이 된다. 이것만 기억하면 된다.

정리하면, 자연상수 는 "100%를 목표로 1 cycle 연속성장 했을 때 최대 성장량"이다. 그럼 이것은 투자에 어떻게 활용될까?

만약 어떤 사람이 연 20% 자산 증가를 목표로 투자하고 있다. 5년 동안 꾸준히 투자(연속성장)했다면 이 사람이 가질 수 있는 최대 자산 증가량은 얼마일까?

즉, 2.718…배가 된다. 기억하자. 이 경우 0.718배는 꾸준히 투자한 사람에게 자연이 주는 상여금이다. 하지만 욕심부리면 안 된다. 더 이상 주지 않는다.

ps. 처음 함수식에서 최대 성장량이 100배가 되는 기간은 어떻게 정할까? 1이 100배가 된다면 자산은 100이 돼 있을 것이다.

10년에 100배를 가정했으므로 함수식은 이 된다. 어쩌면 이 선은 도박과 투자를 나누는 경계선일지도 모른다.

4\. 가장 중요한 것은 '방향'이다

오늘은 조금 어렵지만 중요한 이야기를 하려 한다. 앞의 자연상수 시리즈에서 자연상수가 무엇이고 그 의미가 어떤 것인지 다뤘다. 자연상수 의 정의는 다음과 같다.

어렵다. 이것을 직관적으로 표현하면 다음과 같은 '꼴'로 표현할 수 있다.

투자에 있어 이 식이 가지는 의미는 심오하고 철학적이다. 위 식은 네 개의 기호와 숫자로 이루어져 있다. 각각을 분해해 보면 다음과 같다.

① 1 — 현재 나의 자산(원금)

>

② + — 올바른 방향(성장의 방향)

>

③ 0 — 더뎌 보이는 아주 작은 증가

>

④ ∞ — 무한히 반복되는 꾸준한 축적

이를 투자에 적용하면 다음과 같은 문장으로 정리할 수 있다. "자산을 올바른 방향으로, 비록 그 증가가 더뎌 보이더라도 꾸준히 쌓아가는 것." 그럼 결과는 어떻게 될까? 자연상수는 아래와 같은 값을 갖는다.

1+0, 즉 1을 무한번 곱한다고 해도 1밖에 되지 않을 것 같지만, 결과는 놀랍게도 2.72배가 된다. 눈이 쌓일 때도 무수히 많은 눈송이가 하늘에서 내려와 길에 닿으며 다 녹아 없어지는 것처럼 보이지만, 결국 어느 순간에는 쌓여 있는 것과 같다. 나무가 자라는 것도, 사람이 성장하는 것도 모두 자연의 법칙을 따르고 있다. 꾸준한 축적과 반복.

투자도 마찬가지이다. 방향만 올바르다면 더딘 자산 증가에도 꾸준한 축적을 반복하면 자연은 그 사람에게 큰 성과를 가져다준다. 이것이 자연이 전해주는 진리의 메시지이다. 그래서 자연상수라 불리는지도 모른다.

여기서 중요한 것은 '방향'이다. 만약 방향이 잘못된다면 어떻게 될까? 즉, 자연상수 꼴에서 (+)가 (−)로 바뀌면 어떻게 될까?

자연상수 의 정의로 돌아가서 이라면, 이 값은

이 되고, 이는

즉, 자산 1은 반토막이 아니라 거의 3분의 1토막이 된다. 앞에서 투자와 도박을 구분하는 방법을 이야기했다. 만약 투자가 아닌 도박을 꾸준히 한다면 결국 큰 손실을 입게 될 것이다. 투자에서 올바른 방향은 매우 중요하다.

투자를 지속하면서 나만의 투자법이 정립되고 자신이 생긴다면 투자수익률을 높일 수 있게 되고, 이는 자산증가율을 높이게 된다. 즉, 위 자연상수의 꼴에서 '③ 증가' 부분을 향상시킬 수 있다. 이는 목표를 이루는 데 걸리는 시간을 단축시켜 준다.

정리하자면, 자연이 주는 진리의 메시지는 "올바른 방향으로 더디더라도 꾸준히 반복하라."이다. 모두 성공적인 투자 하시길 바란다.